(I)先求出函数的定义域,求出函数f(x)的导函数,在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间.
(II)通过对字母a的分类讨论,探讨导数的符号得函数的单调性,即可的函数的极大值.
(III)当a>1时,由(2)可知f(x)在(0,a)上的最大值为f(1)=1-a.要证函数f(x)<0在(0,a)上恒成立,只要证f(x)在(0,a)上的最大值f(1)<0即可.即证1-a<0恒成立.
【解析】
定义域为(0,+∞),且
(Ⅰ)当a=5时,,令f'(x)≥0,
解得x≥5或x≤1.故函数f(x)在(0,1),(5,+∞)上单调递增. …(2分)
(Ⅱ)令f'(x)≥0,即,
当a=1时,上式化为恒成立.故f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;
当a>1时,解得x≤1或x≥a.故f(x)在(0,1),(a,+∞)上单调递增,在(1,a)上单调递减.
x (0,1) 1 (1,a) a (a,+∞)
f'(x) + - +
f(x) 增 极大值 减 极小值 增
故f(x)在x=1处有极大值f(1)=1-a.
当0<a<1时,解得x≤a或x≥1.故f(x)在(0,a),(1,+∞)上单调递增,在(a,1)上单调递减;
x (0,a) a (a,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + - +
f(x) 增 极大值 减 极小值 增
故f(x)在x=a处有极大值f(a)=a-1-(a+1)lna.…(7分)
(Ⅲ)证明:当a>1时,由(2)可知f(x)在(0,1),(a,+∞)上单调递增,在(1,a)上单调递减.
故f(x)在(0,a)上的最大值为f(1)=1-a.
要证函数f(x)<0在(0,a)上恒成立
只要证f(x)在(0,a)上的最大值f(1)<0即可.
即证1-a<0恒成立.
因为a>1,故1-a<0.
由此可知,对任意a>1,f(x)<0在(0,a)上恒成立.…(9分)