Question

已知直线l：（m+2）x+（2m-3）y+（7-14m）=0与圆C：x²+y²-6x-8y+21=0
（1）求证：对于任意实数m，l与圆C恒有两个交点A，B
（2）当AB最小时，求l的方程．

Answer

（1）将直线l方程变形，根据题意求出x与y的值，确定出直线恒过点M坐标，将圆方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，求出|MN|的长，与半径比较大小即可得证；
（2）过圆内一点的所有弦中，以直径为最长，以垂直于直径的弦长最小，求出直线MC的斜率，找出直线AB的斜率，表示出直线l方程即可．
【解析】
（1）直线系l：（m+2）x+（2m-3）y+（7-14m）=0，可以化成（2x-3y+7）+m（x+2y-14）=0，
∵方程组2x-3y+7=0；x+2y-14=0有解x=4；y=5，
∴l中的每一条都经过点M（4，5），
圆C：（x-3）2+（y-4）2=4的圆心是N（3，4），半径是r=2，
∵|MN|2=（4-3）2+（5-4）2=2＜4=r2，
∴点M在圆C内，
则过M的每一条直线都与圆相交，并且交于不同的两点A，B；
（2）过圆内一点的所有弦中，以直径为最长，以垂直于直径的弦长最小，
此时kMC==1，∴kAB=-1，
∴直线l方程为y-5=-（x-4），即x+y-9=0，
则|AB|最小时，直线方程是x+y-9=0．