Question

在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且c=2acosB，试判断△ABC的形状．

Answer

由（a+b+c）（b+c-a）=3bc，根据余弦定理算出cosA=，得到A=60°．再由且c=2acosB，利用正弦定理和两角和与差的正弦公式，算出sin（A-B）=0，得到A=B=60°，由此即可得到△ABC是等边三角形．
【解析】
∵在△ABC中，（c+b+a）（c+b-a）=3bc，
∴c2+b2-a2=bc，可得cosA==，
结合A为三角形的内角，可得A=60°．
∵c=2acosB
∴由正弦定理，得 sinC=sin（A+B）=2sinAcosB，
展开化简，得sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
∴sin（A-B）=0，
∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0，可得A=B=60°
因此，C=180°-（A+B）=60°
∴△ABC是等边三角形