Question

设等比数列{a_n}的前n项的和为S_n，公比为q（q≠1）．
（1）若S₄，S₁₂，S₈成等差数列，求证：a₁₀，a₁₈，a₁₄成等差数列；
（2）若S_m，S_k，S_t（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列{a_n}中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由；
（3）若q为大于1的正整数．试问{a_n}中是否存在一项a_k，使得a_k恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由．

Answer

（1）根据S4，S12，S8成等差数列，q≠1，可得S12=S4+S8，化简可得2q8=1+q4，进而可以证明a10，a18，a14成等差数列；
（2）根据Sm，Sk，St（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，可得2Sk=Sm+St，化简可得，从而可得am+1，ak+1，at+1成等差数列，即可得出结论；
（3）假设存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续两项的和，设ak=an+an+1，可得k＞n，qk-n=1+q
，从而可得结论．
【解析】
（1）若S4，S12，S8成等差数列，q≠1，则S12=S4+S8，
∴=+
∴2q8=1+q4
∴a10+a14====2a18，
∴a10，a18，a14成等差数列；
（2）若Sm，Sk，St（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，则2Sk=Sm+St，
∴=+
∴2qk=qm+qt
∴
∴am+1，ak+1，at+1成等差数列，
∴am+2，ak+2，at+2成等差数列；
（3）假设存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续两项的和，设ak=an+an+1，
则
∵a1≠0，q＞1
∴qk-1=qn-1+qn
∴qk=qn+qn+1
∵qn+1＞1
∴qk＞qn
∴k＞n，qk-n=1+q
当q为偶数时，qk-n为偶数，而1+q为奇数，假设不成立；
当q为奇数时，qk-n为奇数，而1+q为偶数，假设也不成立，
综上，{an}中不存在ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续两项的和．