Question

设函数f（x）=sin（2x+ϕ）（0＜ϕ＜π），y=f（x）图象的一条对称轴是直线
（Ⅰ）求ϕ；                     
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值；
（Ⅳ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer

（Ⅰ）由题意可得f（）=sin（+ϕ）=±1，再由0＜ϕ＜π，可得ϕ的值．
（Ⅱ）由以上可得函数f（x）=sin（2x+），令 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．
（Ⅲ）由于x∈，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．
（Ⅳ）由x∈[0，π]，可得2x+∈[，]，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得f（）=sin（+ϕ）=±1，再由0＜ϕ＜π，可得ϕ=．
（Ⅱ）由以上可得函数f（x）=sin（2x+），令 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，
求得 kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．
（Ⅲ）由于x∈，∴2x+∈，故当2x+=时，函数取得最大值为1；当 2x+= 时，函数取得最小值为-．
求函数f（x）在区间上的最大值与最小值；
（Ⅳ）∵x∈[0，π]，可得2x+∈[，]，列表表如下：

 2x+      π    2π  
 x  0          π
 y    1  0 -1  0