Question

在如图所示的四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=DC=PD=2AD，PD⊥底面ABCD，点E是PB的中点．
（I）证明：BC⊥PC；
（Ⅱ）证明：AE∥平面PDC；
（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PBC．

Answer

（I）证明BC⊥平面PDC，可得BC⊥PC；
（Ⅱ）证明四边形AEFD是平行四边形，可得AE∥DF，利用线面平行的判定，可以证明AE∥平面PDC；
（Ⅱ）证明DF⊥平面PBC，利用DF∥AE，可得AE⊥平面PBC，利用面面垂直的判定可得平面PAB⊥平面PBC．
证明：（I）∵PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD．
∵∠BCD=90°，∴BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC，
∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC（2分）
（II）取PC的中点F，连结DF，EF．
，∴，∴
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AE∥DF．
又DF⊂平面PDC，AE⊄平面PDC，
∴AE∥平面PDC．（5分）
（III）∵BC⊥平面PDC，DF⊂平面PDC，∴BC⊥DF
又∵PD=DC，F是PC的中点，∴DF⊥PC，∴DF⊥平面PBC
又∵DF∥AE，∴AE⊥平面PBC
又∵AE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC（7分）