Question

某工厂用72万元钱购买了一台新机器，每年的保险费、油费合计为7.5万元，另外，维修保养费用逐年递增，第一年为2万元，以后每年增加1万元．
（I）设前n年的维修保养总费用为S_n万元，求S_n的表达式；
（Ⅱ）截止到第n年，这台机器的总费用是多少？
（Ⅲ）这台机器的最佳使用年限（年平均费用最小）是多少？

Answer

（I）由题知，维修保养费用逐年递增，第一年为2万元，以后每年增加1万元，可得前n年每年的保养费是一个首项为2，公差为1的等差数列，由求和公式求和即可；
（II）总费用包括购买费用及每年的保险费、油费合计为7.5万元及每年的保养费用，三者相加即可得到总费用；
（III）得出各年平均费用的表达式，计算其取得最小值时的n即可得出答案
【解析】
（I）由题意，每年的保养费是一个首项为2，公差为1的等差数列，可得；（2分）
（II）总费用为（万元）
答：截止到第n年，这台机器的总费用是万元；（4分）
（III）设这台机器前n年的年平均费用为f（n）万元，，当且仅当时等号成立．
即n=12时等号成立．
答：这台机器的最佳使用年限是12年．（8分）