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高中数学试题
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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段AD1上的点,且满...
如图,在棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,P为线段AD
1
上的点,且满足
.
(Ⅰ)当λ=1时,求证:平面ABC
1
D
1
⊥平面PDB;
(Ⅱ)试证无论λ为何值,三棱锥D-PBC
1
的体积恒为定值.
(I)欲证平面ABC1D1⊥平面PDB,根据面面垂直的判定定理可知在平面PDB内一直线与平面ABC1D1垂直,根据面面垂直的性质定理可知DP⊥平面ABC1D1; (II)根据AD1∥BC1,P为线段AD1上的点,得到三角形PBC1的面积为定值,再根据CD∥平面ABC1D1,得到点D到平面PBC1的距离为定值,从而得到三棱锥D-BPC1的体积为定值,在利用体积公式求出三棱锥D-PBC1的体积即可. 证明:(Ⅰ)∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥面AA1D1D, 又AB⊂ABC1D1∴平面ABC1D1⊥平面AA1D1D, ∵λ=1时,P为AD1的中点,∴DP⊥AD1, 又∵平面ABC1D1∩平面AA1D1D=AD1, ∴DP⊥平面ABC1D1, 又DP⊂平面PDB,∴平面ABC1D1⊥平面PDB. (Ⅱ)∵AD1∥BC1,P为线段AD1上的点, ∴三角形PBC1的面积为定值, 即, 又∵CD∥平面ABC1D1, ∴点D到平面PBC1的距离为定值,即, ∴三棱锥D-BPC1的体积为定值, 即. 也即无论λ为何值,三棱锥D-PBC1的体积恒为定值.
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考点分析:
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.
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其中正确命题的序号是
.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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