Question

已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足（p-1）S_n=p²-a_n，其中p为正常数，且p≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=的取值范围；
（3）是否存在正整数M，使得n＞M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出相应的M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用sn+1-sn=an+1求出an的递推公式，进而求解．
（2）将（1）中的结论代入bn=，求出bn，进而求出bnbn+1，利用列项法求出Tn，即可求出Tn的范围；
（3）不等式化简可得，讨论p与1的大小，分别求出满足条件的M，从而得到所求．
【解析】
（1）由题设知（p-1）a1=p2-a1，解得a1=p．…（1分）
同时两式作差得（p-1）（Sn+1-Sn）=an-an+1．
所以（p-1）an+1=an-an+1，即an+1=，
可见，数列的等比数列．…（4分）
．…（5分）
（2）bn=．…（7分）
bnbb+1=．
Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1==1-…（9分）
所以，…（10分）
（3），
由题意，要求．…（12分）
①当p＞1时，-5n-152＜0．
解得-＜n＜8．不符合题意，此时不存在符合题意的M．   …（14分）
②当0＜p＜1时，-5n-152＞0．
解得n＞8，或n＜-（舍去）．此时存在的符合题意的M=8．
综上所述，当0＜p＜1时，存在M=8符合题意；
当p＞1时，不存在正整数M，使得命题成立．      …（16分）