Question

已知平面直角坐标系内三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）
（Ⅰ）求过O，A，B三点的圆的方程，并指出圆心坐标与圆的半径．
（Ⅱ）求过点C（-1，0）与条件（Ⅰ）的圆相切的直线方程．

Answer

（Ⅰ）先求出圆心坐标，分别求出线段OA与OB的垂直平分线，求出两直线的交点即为圆心坐标，求出圆心与O点的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可；
（Ⅱ）分两种情况考虑：当斜率不存在时，直线x=-1满足题意；当斜率存在时，设为k，表示出切线方程，根据直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径求出k的值，确定出此时切线方程．
【解析】
（Ⅰ）∵O（0，0），A（1，1），B（4，2），
∴线段OA中点坐标为（，），线段OB的中点坐标为（2，1），kOA=1，kOB=，
∴线段OA垂直平分线的方程为y-=-（x-），线段OB垂直平分线的方程为y-1=（x-2），
联立两方程解得：，即圆心（4，-3），半径r==5，
则所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0，圆心是（4，-3）、半径r=5；
（Ⅱ）分两种情况考虑：当切线方程斜率不存在时，直线x=-1满足题意；
当斜率存在时，设为k，切线方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∴圆心到切线的距离d=r，即=5，
解得：k=，
此时切线方程为y=（x+1），
综上，所求切线方程为x=-1或y=（x+1）．