Question

已知函数f（x）=x²-x+a+1
（1）若f（x）≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
（2）求f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式．

Answer

（1）根据题意，函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴不相交，由此结合根的判别式建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围；
（2）因为函数的图象对应的抛物线开口向上，关于直线x=对称，所以分a和a时两种情况加以讨论，结合二次函数的单调性进行求解，即可得到f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式．
【解析】
（1）∵二次函数f（x）=x2-x+a+1，且f（x）≥0对一切实数x恒成立，
∴△=（-1）2-4（a+1）≤0，即-4a-3≤0，解之得a≥-
因此，实数a的取值范围是[-，+∞）．
（2）配方，得f（x）=x2-x+a+1=（x-）2+a+
①当a时，函数在（-∞，a]上为减函数，所以最小值为f（a）=a2+1=g（a）；
②当a时，函数在（-∞，]上为减函数，在（，a]上是增函数
此时，f（x）的最小值为f（）=a+
因此f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式为：
g（a）=.．