Question

在棱长为1的正方体AC₁中，E为AB的中点，点P为侧面BB₁C₁C内一动点（含边界），若动点P始终满足PE⊥BD₁，则动点P的轨迹的长度为    ．

Answer

如图，取BC，BB1的中点F，G．先找到一个平面总是保持与BD1垂直，即BD1⊥面EFG，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，得到点P的轨迹为面EFG与面BCC1B1的交线段，结合平面的基本性质知这两个平面的交线是FG．
【解析】
先找到一个平面总是保持与BD1垂直，
取BC，BB1的中点F，G．连接EF，FG，EG，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
有BD1⊥面EFG，
又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，
根据平面的基本性质得：
点P的轨迹为面EFG与面BCC1B1的交线段FG．
在直角三角形BFG中，BG=BF=，∴FG=．
故答案为：．