Question

已知数列{a_n}是公比大于1的等比数列，满足a₃•a₄=128，a₂+a₅=36；数列{b_n}满足b_n+1=2b_n-b_n-1（n∈N^*，n≥2），且b₂≠b₁=1，b₂，b₄，b₈成等比数列．
（1）求{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）依题意，设等比数列{an}的公比为q，解方程组又a5＞a2，可求得{an}的通项公式；同理，可求得等差数列{bn}的公差，继而可求{bn}的通项公式；
（2）Sn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n，利用错位相减法即可求得Sn．
【解析】
（1）依题意，⇒，又a5＞a2，
∴，解得，
∴an=2n．
由bn+1=2bn-bn-1，得2bn=bn+1+bn-1（n∈N*，n≥2），
∴{bn}是等差数列，设其公差为d，由=b2•b8及b1=1，得：（1+3d）2=（1+d）（1+7d），
∴d2=d，又b2≠b1，
∴d=1，
∴bn=1+（n-1）×1=n．
∴an=2n，bn=n；
（2）由Sn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n得：
2Sn=1×22+…+（n-1）×2n+n×2n+1；
两式相减得：-Sn=（21+22+…+2n）-n×2n+1=-n×2n+1=-2+（1-n）×2n+1，
故Sn=（n-1）×2n+1+2．