Question

二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），若不等式f（x）＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}，试用a表示不等式f（x）+2＞0的解集．

Answer

利用不等式f（x）＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}，确定1，3是对应方程f（x）=-2x的根，然后确定a，b，c的值，最后求解不等式f（x）+2＞0的解集．
【解析】
不等式f（x）＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}
即ax2+（b+2）x+c＞0解集为（1，3），即1，3是对应方程ax2+（b+2）x+c=0的两个根，
，
所以f（x）=ax2+（4a+2）x+3a，（a＜0）．
所以f（x）+2＞0等价为f（x）=ax2+（4a+2）x+3a+2＞0，
即（x-1）[ax-（3a+2）]＞0．
因为a＜0，所以原不等式等价为．
①若，即-1＜a＜0时，解得．
②若，即a=-1，此时（x-1）2＜0，此时不等式无解．
③若，即a＜-1，得．
综上：当-1＜a＜0时，不等式的解集为．
当a=-1时，不等式的解集为空集．
当a＜-1时，不等式的解集为．