Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）当0＜b＜a时，比较：a+2af（a+b）与b+2af（2a）的大小．

Answer

（Ⅰ）根据直线l与函数f（x）的图象切点的横坐标为1，得到切点P（1，0），再求出斜率k=f′（1），用点斜式方程可求直线l的方程．再设直线l与函数y=g（x）图象切点为Q（x，x-1），根据两曲线的公共点和导数的几何意义联列方程组，解之可得m的值；
（Ⅱ）由（I）的结果，得h（x）=ln（x+1）-x+2，通过求导数、讨论h′（x）的符号，得到函数h（x）在区间（-1，0）上是增函数，在区间（0，+∞）上是减函数，从而得出函数h（x）的最大值是h（0）=2；
（III）先作差：[a+2af（a+b）]-[b+2af（2a）]=a-b+2aln（），然后记a-b=t，（t＞0），得a=b+t，将所得的差化为以b和t为单位的式子，再记，F（s）=ln（1+s）-s，通过讨论其单调性得ln（1+s）＜s，最后将此不等式还原为以b和t为单位的式子，运用不等式的性质进行放缩，可得a-b+2aln（）＜0，最终得到a+2af（a+b）＜b+2af（2a）．
【解析】
（Ⅰ）∵直线l与函数f（x）的图象相切，且切点的横坐标为1．
∴切点坐标为P（1，ln1），即P（1，0）
求得f′（x）=，所以切线斜率为k=f′（1）=1
∴直线l的方程为y=x-1
又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，设切点为Q（x，x-1）
∴⇒m=-2或4
∵m＜0∴x=-2
故所求直线方程为y=x-1，m的值是-2
（Ⅱ）由（I）得g′（x）=x-2
∴h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2
求导：h′（x）= （x＞-1）
当x∈（-1，0）时，h′（x）＞0，函数h（x）是增函数；
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）是减函数
∴函数h（x）在x=0时有极大值，并且这个极大值是最大值
故函数h（x）的最大值为h（0）=2；
（Ⅲ）为了比较：a+2af（a+b）与b+2af（2a）的大小，进行作差：
[a+2af（a+b）]-[b+2af（2a）]=a-b+2a[f（a+b）-f（2a）]=a-b+2aln（）
∵0＜b＜a
∴设a-b=t，（t＞0），得a=b+t
可得a-b+2aln（）=t+2（b+t）ln[]
再记，（-1＜s＜0），
F（s）=ln（1+s）-s⇒F′（s）=＞0
∴F（s）在（-1，0）是增函数，F（s）＜F（0）=0
∴t+2（b+t）ln[]＜t+2（b+t）=t-t=0
即a-b+2aln（）＜0
∴a+2af（a+b）＜b+2af（2a）