已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1...

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（2）设T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n），求T_n及数列{a_n}的通项；
（3）记 manfen5.com 满分网

，求数列{b_n}的前n项S_n，并证明 manfen5.com 满分网

．

（1）把点（an，an+1）代入函数式，整理得an+1+1=（an+1）2，两边取对数整理得，进而判断{lg（1+an）}是公比为2的等比数列．（2）根据等比数列的通项公式求的数列{lg（1+an）}的通项公式，进而求的an代入到Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）求的Tn．（3）把（2）求的an代入到，用裂项法求和求得项，又，原式得证．【解析】（Ⅰ）由已知an+1=an2+2an， ∴an+1+1=（an+1）2 ∵a1=2 ∴an+1＞1，两边取对数得lg（1+an+1）=2lg（1+an），即 ∴{lg（1+an）}是公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg（1+an）=2n-1•lg（1+a1）= ∴∴ ∴Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）=== （Ⅲ）∵an+1=an2+2an ∴an+1=an（an+2） ∴ ∴ 又 ∴ ∴Sn=b1+b2++bn== ∵ ∴ 又 ∴．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等