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高中数学试题
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在平面直角坐标系xOy中,记二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴...
在平面直角坐标系xOy中,记二次函数f(x)=x
2
+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的无关)?请证明你的结论.
(1)由题意知,由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0,然后抛物线与x轴有两个交点即令f(x)=0的根的判别式大于0即可求出b的范围; (2)设出圆的一般式方程,根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知:令y=0得到与f(x)=0一样的方程;令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程; (3)设圆的方程过定点(x,y),将其代入圆的方程得x2+y2+2x-y+b(1-y)=0,因为x,y不依赖于b得取值,所以得到1-y=0即y=1,代入x2+y2+2x-y=0中即可求出定点的坐标. 【解析】 .(1)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b); 令f(x)=x2+2x+b=0,由题意b≠0且△>0,解得b<1且b≠0. (2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b. 令x=0得y2+Ey+F=0,方程有一个根为b,代入得出E=-b-1. 所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0. (3)圆C必过定点,证明如下: 假设圆C过定点(x,y)(x,y不依赖于b),将该点的坐标代入圆C的方程, 并变形为x2+y2+2x-y+b(1-y)=0(*) 为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立,必须有1-y=0,结合(*)式得x2+y2+2x-y=0,解得 经检验知,(-2,1)均在圆C上,因此圆C过定点.
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考点分析:
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②如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β;
③若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c也是异面直线;
④已知平面α⊥平面β,且α∩β=b,若a⊥b,则a⊥平面β;
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.
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试题属性
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