Question

已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=2x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，，求椭圆的方程．

Answer

先设椭圆方程的方程，然后与直线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积的关系式，再由OP⊥OQ，，可得到两点坐标的关系式，然后再与两根之和、两根之积的关系式联立可求m，n的值，从而可确定椭圆方程．
解析：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0），
依题意，点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的坐标满足方程组
解之并整理得（m+4n）x2+4nx+n-1=0
所以：x1+x2=-，x1x2=        ①
由OP⊥OQ，
∴x1x2+y1y2=0
∴x1x2+（2x1+1）（2x2+1）=0，5x1x2+2（x1+x2）+1=0
∴5×+2×+1=0，∴m+n=5      ②
又由|PQ|=
∴|PQ|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=
∴（x1-x2）2+（2x1-2x2）2=，
∴5（x1+x2）2-20x1x2=，（x1+x2）2-4x1x2=，③
由①②③可得：19n2-98n+120=0
∴n=2或n=，m=3或m=
故所求椭圆方程为3x2+2y2=1，或．