Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（I）求异面直线BD与B₁C所成的角；
（Ⅱ）求证平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．

Answer

（I）由已知中正方体ABCD-A1B1C1D1为棱长为1的正方体，结合正方体的几何特征，我们易得∠D1B1C就是异面直线BD与B1C所成的角，解三角形D1B1C，即可得到异面直线BD与B1C所成的角；
（II）由正方体的性质可知DD1⊥面AC，即DD1⊥AC，又由AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥面B1D1DB，再由面面垂直的判定定理即可得到平面ACB1⊥平面B1D1DB．
【解析】
（Ⅰ）如图，DB∥D1B1，
则∠D1B1C就是异面直线BD与B1C所成的角．
连接D1C，在△D1B1C中，D1B1=B1C=CD1，
则∠D1B1C=60°，
因此异面直线BD与B1C所成的角为60°．（4分）
（Ⅱ）由正方体的性质可知DD1⊥面AC，
故DD1⊥AC，
又正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴AC⊥面B1D1DB；
又AC⊂平面ACB1，
∴平面ACB1⊥平面B1D1DB．（8分）