Question

已知圆O：x²+y²=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|，
（Ⅰ）求实数a，b间满足的等量关系；
（Ⅱ）求线段PQ长的最小值．

Answer

（I）连结OP，根据圆的切线的性质得|PQ|2+|QO|2=|OP|2，即a2+b2-1=（a-2）2+（b-1）2，化简既得实数a，b间满足的等量关系；
（II）由（I）结合两点间的距离公式，可得|PQ|2=a2+b2-1=5（a-）2+，结合二次函数的性质可得当a=时，线段PQ长有最小值．
【解析】
（Ⅰ）连结OP，因为Q是切点，可得PQ⊥QO，则|PQ|2+|QO|2=|OP|2，
∵|PQ|=|PA|，∴a2+b2-1=（a-2）2+（b-1）2
化简得2a+b-3=0，即为实数a，b间满足的等量关系； …（6分）
（Ⅱ）由（I）2a+b-3=0，得b=-2a+3
∴|PQ|2=a2+b2-1=a2+（-2a+3）2-1=5（a-）2+
因此，当a=时，线段PQ长的最小值为=…（12分）