Question

已知圆M：x²+（y-4）²=1，直线l：2x-y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（Ⅰ）若∠APB=60°，求P点坐标；
（Ⅱ）若点P的坐标为（1，2），过P作直线与圆M交于C、D两点，当|CD|=时，求直线CD的方程；
（Ⅲ）求证：经过A、P、M三点的圆与圆M的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．

Answer

（I）由条件可知|PM|=2，建立方程，可求P点坐标；
（Ⅱ）由条件可知圆心到直线CD的距离d=，设直线CD的方程，可得结论；
（Ⅲ）经过A、P、M三点的圆与圆M相减，可得公共弦，即可求出结论．
【解析】
（Ⅰ）由条件可知|PM|=2，设P（a，2a），则|PM|==2
解得a=2或a=1.2，所以P（2，4）或P（1.2，2.4）…（4分）
（Ⅱ）由条件可知圆心到直线CD的距离d=，设直线CD的方程为y-2=k（x-1），
则，解得k=-7或k=-1；
所以直线CD的方程为x+y-3=0或7x+y-9=0…（8分）
（III）设P（a，2a），过A，P，M三点的圆即以PM为直径的圆，其方程为x（x-a）+（y-4）（y-2a）=0
与x2+（y-4）2=1相减可得（4-2a）y-ax+8a-15=0
即（-x-2y+8）a+4y-15=0
由，可得
∴经过A、P、M三点的圆与圆M的公共弦必过定点（）．