Question

在数列{a_n}中，任意相邻两项为坐标的点P（a_n，a_n+1）均在直线y=2x+k上，数列{b_n}满足条件：b₁=2，b_n=a_n+1-a_n（n∈N）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，S_n=c₁+c₂+…+c_n，求 2ⁿ⁺¹-S_n＞60n+2成立的正整数n的最小值．

Answer

（Ⅰ）依题意an+1=2an+k，故bn=an+1-an=2an+k-an=an+k，bn+1=an+1+k=2an+k+k=2（an+k）=2bn，由此能求出数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ），-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，由错位相减法知2n+1-Sn＞60n+2，即n•2n+1＞60n，2n+1＞60．由此知使2n+1-Sn＞60•n+2成立的正整数n的最小值为5．
【解析】
（Ⅰ）依题意：an+1=2an+k
∴bn=an+1-an=2an+k-an=an+k，（*）
∴bn+1=an+1+k=2an+k+k=2（an+k）=2bn，
∵b1=2，∴．∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴bn=2•2n-1=2n，即为数列bn的通项公式．
（Ⅱ）
∴-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（3）
∴-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）×2n+n×2n+1（4）
（3）-（4）得
2n+1-Sn＞60n+2，即∴n•2n+1＞60n，∴2n+1＞60
又当n≤4时，∴2n+1≤25=32＜60
当n≥5时，∴2n+1≥26=64＞60
故使2n+1-Sn＞60•n+2成立的正整数n的最小值为5．