Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠BCD=60°，BC=1，E为CD的中点，PC与平面ABCD成60°角．
（1）求证：平面EPB⊥平面PBA；
（2）求二面角P-BD-A 的余弦值．

Answer

（1）证明BE⊥AB，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BE，所以BE⊥面PAB，由此能够证明面PBE⊥面PAB；
（2）连AC，BD交于O，则∠POA为二面角P-BD-A的平面角，从而可得结论．
（1）证明：∵E为CD的中点，BC=1，ABCD为菱形，∴CE=，
又∠BCD=60°，
∴∠BEC=90°，∴BE⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BE，
∵PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，PA∩AB=A，
∴BE⊥面PAB，
∵BE⊂面PBE，
∴面PBE⊥面PAB．   
（2）【解析】
连AC，BD交于O，则AO⊥BD
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PO⊥BD
∴∠POA为二面角P-BD-A的平面角，
∵PC与平面ABCD成60°角，
∴∠POA=60°
∵∠BCD=60°，BC=1，
∴AC=，AD=
∴PA=6，PO=
∴cos∠POA==．