Question

已知a、b、c是△ABC的三条边，它们所对的角分别是A、B、C，若a、b、c成等比数列，且a²-c²=ac-bc，试求：
（1）角A的度数；
（2）求的值．

Answer

（1）由已知可得b2=ac，结合已知，利用余弦定理可求cosA，进而可求A
（2）由b2=ac结合正弦定理可得sin2B=sinAsinC
法一：由正弦定理可得，可求
法二：由可得==sinA
【解析】
（1）∵a、b、c成等比数列∴b2=ac…（1分）
∵a2-c2=ac-bc∴a2-c2=b2-bc
∴b2+c2-a2=bc…（3分）
∴…（5分）
又∵A∈（0，π）∴…（7分）
（2）∵b2=ac
∴（2RsinB）2=（2RsinA）（2RsinC）
∴sin2B=sinAsinC…（10分）
法一：…（14分）
法二：∵b2=ac
∴∴==…（14分）