Question

设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，
（1）若S₃，S₉，S₆成等差数列，求证：a₂，a₈，a₅成等差数列．
（2）设p，r，t，k，m，n∈N*，且p，r，t成等差数列，若pS_k，rS_m，tS_n成等差数列，试判断pa_k+1，ra_m+1，ta_n+1三者关系，并说明理由．

Answer

（1）设{an}的公比为q，根据等比数列的前n项和公式及2S9=S6+S3，建立关于q的方程解出q3=-，从而化简得a2+a5-2a8=0，所以a2，a8，a5成等差数列．
（2）根据题意，可得2rSm=pSk+tSn，当q=1时，结合2r=p+t不难推出2ram+1=pak+1+tan+1成立，即pak+1，ram+1，tan+1成等差数列．当q≠1时，根据等比数列的通项与求和公式，化简等式2rSm=pSk+tSn得到2ra1qm=pa1qk+ta1qn，即2ram+1=pak+1+tan+1．由此可得若pSk，rSm，tSn成等差数列，则pak+1，ram+1，tan+1成等差数列．
【解析】
（1）依题意，设等比数列{an}的公比为q，
可得2S9=S6+S3，即2=+
整理得2q6-q3-1=0，解q3=1或-，
∵q=1时，2S9=S6+S3不成立
∴q3=-，
可得a2+a5-2a8=a2（1+q3-2q6）=a2（1--2×）=0
∴a2+a5=2a8，即a2，a8，a5成等差数列．
（2）设等比数列{an}的公比为q，
由pSk，rSm，tSn成等差数列，可得2rSm=pSk+tSn，
当q=1时，ak+1=am+1=an+1=a1，结合2r=p+t得到2ram+1=pak+1+tan+1．
当q≠1时，由2rSm=pSk+tSn结合等比数列前n项和公式，
化简得2ra1（1-qm）=pa1（1-qk）+ta1（1-qn），
∵2r=p+t，可得2ra1=pa1+ta1，
∴上式化简，得2ra1qm=pa1qk+ta1qn，即2ram+1=pak+1+tan+1．
综上所述，若pSk，rSm，tSn成等差数列，则pak+1，ram+1，tan+1成等差数列．