Question

已知函数f（x）=|log₃x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n²]上的最大值为2，则m+n=    ．

Answer

先结合函数f（x）=|log3x|的图象和性质，再由f（m）=f（n），得到m，n的倒数关系，再由“若f（x）在区间[m，n2]上的最大值为2”，求得m、n的值，从而求得m+n的值．
【解析】
∵f（x）=|log3x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴-log3m=log3n，∴mn=1．
∵f（x）在区间[m，n2]上的最大值为2，函数f（x）在[m，1）上是减函数，在（1，n2]上是增函数，
∴-log3m=2，或=2．
若-log3m=2，则m=3-2=，故n=9，n2=81，故f（x）在区间[m，n2]上的最大值为log381=4，不满足条件．
若=2，则n=3，m=，由于|log3m|=1＜2，故满足f（x）在区间[m，n2]上的最大值为2，
综合可得 m=，n=3，故n+m=，
故答案为 ．