Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，沿对角线BD把△BCD折起到△BPD位置，且P在面ABC内的射影O恰好落在AB上
（1）求证：AP⊥BP；
（2）求AB与平面BPD所成的角的正弦值．

Answer

（1）由已知中，矩形ABCD沿对角线BD把△BCD折起到△BPD位置，且P在面ABC内的射影O恰好落在AB上，易得PO⊥面ABD，进而由面面垂直的性质得到AD⊥面ABP，则AD⊥BP，又由BP⊥PD，结合线面垂直的判定定理可得BP⊥面APD，进而由线面垂直的性质得到AP⊥BP；
（2）作AH⊥PD于H，则AH⊥面BPD，连BH，则BH为AB在面BPD上的射影，我们易得∴∠ABH为AB与面BPD所成的角．解三角形ABH即可得到答案．
证明：（I）由题意知，PO⊥面ABD，
∵PO⊂ABP，
∴面ABP⊥面ABD，
又∵AD⊥AB，面ABP∩面ABD=AB，
∴AD⊥面ABP，
∴
∵BP⊥PD
∴BP⊥面APD，
∴BP⊥AP，
（II）∵BP⊥APD，BP⊂面BPD，
∴面APD⊥面BPD．

∴∠ABH为AB与面BPD所成的角．
又在Rt，
∴，∴
∴，
即AB与平面BPD所成角的正弦值为．