Question

设f（x）=x+，g（x）=x³-x²-3
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若x∈[0，2]，求函数g（x）的最大值和最小值；
（3）如果在[，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）把a=2代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（2）借助于导数，将函数f（x）=x3-x2-3的最值问题转化为导函数进行研究．此题只须求出函数的导函数，利用导数求解即可．
（3）由（2）知，函数g（x）在[，2]上的最大值，则问题在[，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，只需当x∈[，2]时，f（x）min≥g（2）=1恒成立即可，然后利用分类讨论思想求函数f（x）在区间[，2]上取得最大值，从而建立关于a的不等关系，则实数a的取值范围可求．
【解析】
（1）当a=2时，f（x）=x+，
所以f′（x）=1-2x-2，因此f′（1）=-1．
即曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-1．…（4分）
又f（1）=3，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-3=-（x-1），
即x+y-4=0．…（6分）
（2）因为g（x）=x3-x2-3，所以g′（x）=3x2-2x．
令f'（x）=0，得x=0或x=． …（8分）
①若0＜x＜，则g'（x）＜0，g（x）在区间（0，）上单调递减，
②若＜x＜2，g'（x）＞0，函数g（x）在区间（，2）上单调递增，
所以当x=时，函数g（x）取得最小值-，当x=2时，函数g（x）取得最大值为1．…（13分）
（3）由（2）知，函数g（x）在[，2]上的最大值g（x）max=g（2）=1．
∵在[，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，
∴只需当x∈[，2]时，f（x）min≥g（2）=1恒成立即可，
当a≤0时，函数f（x）在[，2]上的最小值+2a≥1不可能；
当a＞0时，∵f（）=+2a≥1，∴a≥．
当≤a≤4时，函数f（x）在[，2]上的最小值f（）=2≥1满足题意；
当a＞4时，函数f（x）在[，2]上的最小值f（2）=2+≥1满足题意；
故当a≥时，在[，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立．