Question

已知三个函数y=|x|+1，y=，y=（x+）（x＞0），其中第二个函数和第三个函数中的t为同一常数，且0＜t＜1，它们各自的最小值恰好是方程x³+ax²+bx+c=0的三个根．
（1）求证：（a-1）²=4（b+1）；
（2）设x₁，x₂是函数f（x）=x³+ax²+bx+c的两个极值点，求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer

（1）确定函数的最小值与方程x3+ax2+bx+c=0的三个根关系，证明：（a-1）2=4（b+1）；
（2）利用导数与极值的关系，结合二次函数根与系数之间的关系求取值范围．
【解析】
（1）三个函数的最小值依次为1，，，
由f（1）=0得a+b+c=-1，即c=-a-b-1，
所以f（x）=x3+ax2+bx-（a+b+1）=（x-1）[x2+（a-1）x+a+b+1]，
故方程x2+（a-1）x+a+b+1=0的两个根为，，
则，即4（a+b+1）=（a+1）2．
（或利用判别式△=0）
（2）由题意可知x1，x2是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点，则x1，x2是函数f'（x）=3x2+2ax+b=0的两个根．
故，△=4a2-2b＞0，
所以△=4a2-3（a-1）2+12=（a+3）2，
所以，而，
得，
故．