Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1+lnx．
（Ⅰ）当a=b=-1时，求f（x）的单调递增区间和极值；
（Ⅱ）若f（x）在x=1，和x=处取得极值．（1）求f（x）的解析式；（2）若在[，2]上存在x，使得f（x）≤m恒成立，求m的取值范围．

Answer

（I）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间，从而可得函数的极值；
（II）（1）根据f（x）在x=1，和x=处取得极值，建立方程组，从而可得函数解析式；
（2）确定函数的极大值，从而可得函数的最值，即可求m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当a=b=-1时，=-…（2分）
由于x＞0，由f′（x）＞0即，可得0＜x＜
∴f（x）的单调递增区间为，
又函数的单调减区间是（，+∞）（4分）
∴，f（x）无极小值…（6分）
（Ⅱ）（1）f′（x）=…（7分）
∵f（x）在x=1，和x=处取得极值
∴=0…（8分）
∴
∴a=1，b=-3
∴f（x）的解析式是f（x）=x2-3x+1+lnx…（9分）
（2）由（1）得．
∴当x∈时，f′（x）＞0，故f（x）在单调递增．
时，f′（x）＜0，故f（x）在单调递减
x∈[1，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增…（11分）
∴…（12分）
而f（2）=-1+in2
∵
∴f（x）max=-1+ln2，…（13分）
∴m≥-1+ln2…（14分）