Question

如图所示，凸多面体ABCED中，⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=，CE=2，F为BC的中点．
（1）求证：AF∥面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BCE；
（3）求V_B-ACED．

Answer

（I）作BE的中点G，连接GF，GD，由三角形中位线定理，及平行四边形判定定理可得四边形GFAD为平行四边形，进而AF∥GD，再由线面平行的判定定理得到AF∥平面BDE；
（Ⅱ）由AB=AC，F为BC的中点可得AF⊥BC，结合GF⊥AF及线面垂直的判定定理可得AF⊥平面BCE进而由面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面BCE． 
（Ⅲ）由已知可判断四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，由面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ACED，即AB为四棱锥B-ACED的高，代入棱锥体积公式可得答案．
证明：（Ⅰ）作BE的中点G，连接GF，GD，∴GF为三角形BCE的中位线，
∴GF∥EC∥DA，GF=CE=DA，…（5分）
∴四边形GFAD为平行四边形，
∴AF∥GD，又GD⊂平面BDE，
∴AF∥平面BDE．…（7分）
（Ⅱ）∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，又GF⊥AF，∴AF⊥平面BCE，…（10分）
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，又GD⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．…（12分）
（Ⅲ）∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，
∵BC2=AC2+AB2，∴AB⊥AC，…（14分）
∵平面ABC∩平面ACED=AC，∴AB⊥平面ACED，
即AB为四棱锥B-ACED的高，
∴VB-ACED=•SACED•AB=××（1+CE）×1×1=．…（15分）