Question

如图所示，在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=a，∠ABC=θ
（1）求△ABC的面积f（θ）与正方形面积g（θ）；
（2）当θ变化时，求的最小值．

Answer

（1）设正方形边长为x，求出BG=，AC=atanθ，x，即可求出三角形ABC的面积f（θ）与正方形面积g（θ）；
（2）利用（1）推出的表达式，利用基本不等式，求出比值的最小值即可．
【解析】
（1）由题得：AC=atanθ
∴f（θ）=a2tanθ（0＜θ＜） 
设正方形的边长为x，则BG=，由几何关系知：∠AGD=θ
∴AG=xcosθ 由BG+AG=a⇒⇒x=
∴g（θ）=（0＜θ＜）
（2）==1++ 令：t=sin2θ
∵0＜θ＜
∴t∈（0，1]∴y=1+=1+（t+）∵函数y=1+（t+）在（0，1]递减
∴ymin=（当且仅当t=1即θ=时成立）
∴当θ=时，的最小值为．