Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，AB=BC=1，PA=AD=2．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求证：CD⊥平面PAC．

Answer

（1）利用线面平行的判定定理证明．
（2）利用线面垂直的判定定理证明．
【解析】
（1）取PA的中点F，连结EF，BF，在△PAD中，E是PD的中点，AD=2，
所以EF∥AD，EF=，
又因为AD∥BC，BC=1，
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以CE∥BF．
又因为CF⊈平面PAB，BE⊂平面PAB，
所以CE∥平面PAB．
（2）梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=AD=2
所以解得AC=，取AD的中点G，连结CG，则AG=GD=1，
所以四边形ABCG是矩形，CG=AB=1．
Rt△CGD中，CD=，
在三角形ACD中，AC2+CD2=AD2，
所以∠ACD=90°，即CD⊥AC．
又因为PA⊥面ABCD，CD⊂面ABCD，
所以PA⊥CD，
又PA⊂面PAC，AC⊂面PAC，PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC．