Question

已知直线l₁：（2m+1）x+（m+1）y-7m-5=0（m∈R）和直线l₁：x+3y-5=0，圆C：x²+y²-2x-4y=0．
（1）当m为何值时，l₁∥l₂？
（2）是否存在点P，使得不论m为何值，直线l₁都经过点P？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）试判断直线l₁与圆C的位置关系．若相交，求截得的弦长最短时m的值以及最短长度；若相切，求切点的坐标；若相离，求圆心到直线l₁的距离的最大值．

Answer

（1）利用直线平行的条件，建立方程，即可得出结论；
（2）直线l1：（2m+1）x+（m+1）y-7m-5=0（m∈R）可化为（2x+y-7）m+（x+y-5）=0，由此可得结论；
（3）确定P在圆内，可得直线l1与圆C相交．当直线l1与直线PC垂直时，截得的弦长最短，从而可得结论．
【解析】
（1）∵直线l1：（2m+1）x+（m+1）y-7m-5=0（m∈R）和直线l1：x+3y-5=0，l1∥l2，
∴3（2m+1）-（m+1）=0
∴m=-；
（2）直线l1：（2m+1）x+（m+1）y-7m-5=0（m∈R）可化为（2x+y-7）m+（x+y-5）=0
∴，∴
∴存在P（2，3），使得不论m为何值，直线l1都经过点P；
（3）圆方程化为标准方程为（x-1）2+（y-2）2=5
∴圆心C（1，2），半径为
∴点P到圆心的距离d=＜
∴P在圆内，∴直线l1与圆C相交
当直线l1与直线PC垂直时，截得的弦长最短，最短长度为=
此时，
∴m=0．