Question

已知函数f（x）=．
（1）证明：函数f（x）既是R上的奇函数，也是R上的增函数；
（2）是否存在m使f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）对任意t∈[0，1]均成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据增函数的奇偶性，单调性的定义证明
（2）由（1）知，函数f（x）既是R上的奇函数，∴f（0）=0，f（2t2-4）+f（4m-2t）＞f（0）可转化为f（2t2-4）＞-f（4m-2t），即f（2t2-4）＞f（2t-4m），
又函数f（x）是R上的增函数，∴2t2-4＞2t-4m，即2t2-4-2t+4m＞0，
法一：令g（t）=2t2-2t+4m-4，t∈[0，1]，只需g（t）min＞0即可
法二：分离参数m，即m＞，t∈[0，1]令g（t）=，只需m＞g（t）max即可．
【解析】
（1）显然函数的定义域为R，对任意x∈R，都有f（-x）===-=-f（x）
所以函数f（x）既是R上的奇函数．
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=-==
x1x2，∵函数y=2x是R上的增函数，且x1＜x2，∴，，f（x1）-f（x2）＜0．即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）是R上的增函数；
（2）法一：由（1）知，函数f（x）既是R上的奇函数，∴f（0）=0，f（2t2-4）+f（4m-2t）＞f（0）可转化为f（2t2-4）＞-f（4m-2t），即f（2t2-4）＞f（2t-4m），
又函数f（x）是R上的增函数，∴2t2-4＞2t-4m，即2t2-4-2t+4m＞0，令g（t）=2t2-2t+4m-4，t∈[0，1]，抛物线g（t）=2t2-2t+4m-4的开口向上，对称轴是t=
，且，所以g（t）min=g（）=4m-，故只需4m-，＞0即可，解得．
法二：由（1）知，函数f（x）既是R上的奇函数，∴f（0）=0，f（2t2-4）+f（4m-2t）＞f（0）可转化为f（2t2-4）＞-f（4m-2t），即f（2t2-4）＞f（2t-4m），
又函数f（x）是R上的增函数，∴2t2-4＞2t-4m，即2t2-4-2t+4m＞0，即m＞，t∈[0，1]令g（t）=，抛物线g（t）=，的开口向下，对称轴是t=，且，所以g（t）max=g（）=，故只需．
存在．使f（2t2-4）+f（4m-2t）＞f（0）对任意t∈[0，1]均成立．