Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）把Sn+1+Sn-1=2Sn+1整理为：（sn+1-sn）-（sn-sn-1）=1，即an+1-an=1  即可说明数列{an}为等差数列；再结合其首项和公差即可求出{an}的通项公式；
（Ⅱ）因为数列{bn}的通项公式为一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列，故直接利用错位相减法求和即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：由已知：（sn+1-sn）-（sn-sn-1）=1  （n≥2，n∈N*），
即an+1-an=1  （n≥2，n∈N*）且a2-a1=1．
∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．
∴an=n+1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=（n+1）•2n，它的前n项和为Tn
Tn=2•21+3•22+4•23++n•2n-1+（n+1）•2n（1）
2Tn=2•22+3•23+4•24++n•2n+（n+1）•2n+1（2）
（1）-（2）：
-Tn=2•21+22+23+24++2n-（n+1）•2n+1
=
=-n•2n+1
∴Tn=n•2n+1（13分）