(Ⅰ)取AC中点E,连DE、BE,证明AC⊥平面DEB,即可证得结论;
(Ⅱ)求得∠DEB是二面角P-AC-B的平面角,过D作平面ABC的垂线DF,垂足F必在直线BE延长线上,∠DBE即为BD与底面ABC所成的角,求出BD,利用正弦定理,可得结论.
(Ⅰ)证明:取AC中点E,连DE、BE,
则DE∥PC,PC⊥AC
∴DE⊥AC …(2分)
又△ABC是正三角形可得BE⊥AC
由线面垂直的判定定理知AC⊥平面DEB,又BD⊂平面BED
∴AC⊥BD …(5分)
(Ⅱ)【解析】
由(Ⅰ)中知DE⊥AC,BE⊥AC
∴∠DEB是二面角P-AC-B的平面角,∴∠DEB=120°
又AB=其中线 BE=
∵AC⊥平面BDE,AC⊂平面ABC
∴平面ABC⊥平面BDE且交线为BE,…(7分)
过D作平面ABC的垂线DF,垂足F必在直线BE上
又∠DEB=120°,∴设F在BE延长线上,则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角 …(9分)
又△DEB中 DB2=DE2+BE2-2BE•DEcos120°=13,∴BD=
由正弦定理:,
∴,即BD与底面ABC所成的角的正弦值为…(12分)