Question

（文科）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．
（Ⅰ）求证：PA=PC；
（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长度．

Answer

（I）根据弦切角定理，可得∠PAB=∠ACB，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，结合BC⊥OP，根据同角的余角相等及对顶角相等可得∠PDA=∠PAB，即△PAD为等腰三角形
（II）先求出∠AOP，在等腰三角形AOB中，求出∠OBC，利用Rt△BOC中，BC=，求出答案．
证明：（I）∵PA与圆O相切于点A，
∴∠PAB=∠ADB
∵BD为圆O的直径，
∴∠BAD=90°
∴∠ADB=90°-∠B
∵BD⊥OP，
∴∠BCO=90°-∠B
∴∠BCO=∠PCA=∠PAB
即△PAC为等腰三角形
∴PA=PC；
（Ⅱ）【解析】
由题意得 Rt△AOP中，cos∠AOP==，cos =，sin =；
∴∠AOB=+∠AOP，
∴等腰三角形AOB中，∠OBC==-，
由和差角公式得：cos∠OBC=．
在Rt△BOC中，BC===．