已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线L：（2m+1）x+（m+1）y...

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明：无论m取什么实数，L与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时直线L的斜截式方程．

（1）将直线l方程整理后，确定出恒过的定点A坐标，判断A在圆C内部，即可确定出无论m取什么实数，L与圆恒交于两点；（2）当直线被圆C截得的弦长最小时，直线l与直线AM垂直，根据直线AM的斜率求出l的斜率，再由A的坐标即可确定出直线l方程．【解析】（1）将直线l方程整理得：（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，由，解得：， ∴直线l恒过A（3，1）， ∵（3-1）2+（1-2）2=5＜25， ∴点A在圆C内部，则直线l与圆恒有两个交点；（2）由圆的方程得到圆心M（1，2），当截得的弦长最小时，直线l⊥AM， ∵kAM=-，∴直线l斜率为2，则直线l的方程为y-1=2（x-2），即2x-y-5=0．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等