Question

如图，棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BCC₁B₁是菱形，B₁C⊥A₁B
（Ⅰ）证明：平面AB₁C⊥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）设D是A₁C₁上的点，且A₁B∥平面B₁CD，求A₁D：DC₁的值．

Answer

（Ⅰ）证明平面AB1C内的直线B1C垂直平面A1BC1，内的两条相交直线A1B，BC1，即可证明平面AB1C⊥平面A1BC1；
（Ⅱ）D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，BC1交B1C于点E，连接DE，E是BC1的中点，推出D为A1C1的中点，可得A1D：DC1的值．
（Ⅰ）证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1
又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，
又B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1．
（Ⅱ）【解析】
设BC1交B1C于点E，连接DE，
则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，
因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．
即A1D：DC1=1．