Question

△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC中一定是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形

Answer

条件即cos（B+B+C）+2sinAsinB=0，利用两角和的余弦公式、诱导公式化简可得cos（A+B）=0，故A+B=，C=，
从而得到△ABC形状一定是直角三角形．
【解析】
∵cos（2B+C）+2sinAsinB=0，即 cos（B+B+C）+2sinAsinB=0．
∴cosBcos（B+C）-sinBsin（B+C）+2sinAsinB=0，
即 cosBcos（π-A）-sinBsin（π-A）+2sinAsinB=0．
∴-cosBcosA-sinBsinA+2sinAsinB=0，即-cosBcosA+sinBsinA=0．
即-cos（A+B）=0，cos（A+B）=0．
∴A+B=，∴C=，故△ABC形状一定是直角三角形．
故选 C．