Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a_t=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．
（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b_n=log₃a_n+1，T_n是数列的前n项和，求T₂₀₁₁的值．

Answer

（I）可通过题设中的条件进行转化，变为可以利用等比数列的定义建立方程求参数t的形式，
（II）求解本题需先研究bn的通项公式，由于，故可以采取裂项求和的方式求T2011的值．
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）由题意得an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1（n≥2）（1分）
两式相减得an+1-an=2an，即an+1=3an，（4分）
所以当n≥2时，{an}是等比数列，
要使n≥1时，{an}是等比数列，则只需==3，从而t=1．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知an=3n-1，bn=log3an+1=n，（9分）
∴（10分）
=（12分）