Question

函数
（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值．
（2）若y=f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值．

Answer

（1）求导函数，利用x=1是f（x）的极值点，即f′（1）=0，可求a的值；
（2）利用（1，f（1））在x+y-3=0 上，可得f（1）=2，根据（1，2）在y=f（x）的图象上，结合f′（1）=-1，可确定函数的解析式，确定极值点与端点的函数值，即可求得f（x）在区间[-2，4]上的最大值．
【解析】
（1）求导函数可得f′（x）=x2-2ax+a2-1
∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，∴a2-2a=0，∴a=0或2
（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0 上，∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）的图象上，∴2=-a+a2-1+b
又∵f′（1）=-1，∴1-2a+a2-1=-1，∴a2-2a+1=0
∴a=1，
∴
∴f′（x）=x2-2x
∴由f′（x）=0，可知x=0和x=2 是f（x） 的极值点
∵，，f（-2）=-4，f（4）=8
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8