①对函数进行求导,然后令导函数大于0求出x的范围,令导函数小于0求出x的范围,即可得到答案;
②由函数f(x)在x=1处取得极值求出a的值,再依据不等式恒成立时所取的条件,求出实数b的取值范围即可.
【解析】
(Ⅰ)在区间(0,+∞)上,.…(1分)
①若a≤0,则f′(x)<0,f(x)是区间(0,+∞)上的减函数; …(3分)
②若a>0,令f′(x)=0得x=.
在区间(0,)上,f′(x)<0,函数f(x)是减函数;
在区间上,f′(x)>0,函数f(x)是增函数;
综上所述,①当a≤0时,f(x)的递减区间是(0,+∞),无递增区间;
②当a>0时,f(x)的递增区间是,递减区间是.…(6分)
(II)因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f′(1)=0
解得a=1,经检验满足题意.…(7分)
由已知f(x)≥bx-2,则 …(8分)
令,则 …(10分)
易得g(x)在(0,e2]上递减,在[e2,+∞)上递增,…(12分)
所以g(x)min=,即. …(13分)