Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
（1）求证：BC₁∥平面DCA₁；
（2）求BC₁与平面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer

（1）连接AC1与A1C交于点K，连接DK．根据三角形中位线定理，易得到DK∥BC1，再由线面平行的判定定理得到BC1∥平面DCA1；
（2）方法一：由AC=BC，D为AB的中点，取A1B1的中点E，又D为AB的中点，得到DCC1E是平行四边形，则∠EBC1即为BC1与平面ABB1A1所成角的二面角，解三角形即可求出答案．方法二：由AC=BC，D为AB的中点，取DA1的中点F，则∠KDF即BC1与平面ABB1A1所成的角．解三角形即可求出答案．
证明：（1）如图一，连接AC1与A1C交于点K，连接DK．
在△ABC1中，D、K为中点，∴DK∥BC1、（4分）
又DK⊂平面DCA1，BC1⊄平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1、（6分）

图一 图二 图三
（2）证明：（方法一）如图二，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、
又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、（8分）
取A1B1的中点E，又D为AB的中点，∴DE、BB1、CC1平行且相等，
∴DCC1E是平行四边形，∴C1E、CD平行且相等．
又CD⊥平面ABB1A1，∴C1E⊥平面ABB1A1，∴∠EBC1即所求角、（10分）
由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，
又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．
设AC=BC=BB1=2，∴，，∠EBC1=30°、（12分）
（方法二）如图三，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、
又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、（8分）
取DA1的中点F，则KF∥CD，∴KF⊥平面ABB1A1．
∴∠KDF即BC1与平面ABB1A1所成的角．（10分）
由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，
又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．
设AC=BC=BB1=2，∴，，∴∠KDF=30°、（12分）