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高中数学试题
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已知椭圆C:(a>b>0),则称以原点为圆心,r=的圆为椭圆C的“知己圆”. (...
已知椭圆C:
(a>b>0),则称以原点为圆心,r=
的圆为椭圆C的“知己圆”.
(Ⅰ)若椭圆过点(0,1),离心率e=
;求椭圆C方程及其“知己圆”的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,若过点(0,m)且斜率为1的直线截其“知己圆”的弦长为2,求m的值;
(Ⅲ)讨论椭圆C及其“知己圆”的位置关系.
(I)根据椭圆过点(0,1),算出b=1.再由离心率e=结合a2=b2+c2联解得到a2=3,c2=2,即可得到椭圆C的方程,最后根据椭圆的“知己圆”定义可得椭圆C的“知己圆”的方程. (II)由椭圆C的“知己圆”的方程,得到其半径r=,根据垂径定理算出弦长为2的弦心距d=1,因此设出线方程为y=x+m,利用点到直线的距离公式列式得到关于m的方程,解之即可得到实数m的值; (III)根据椭圆C的“知己圆”定义,可得其方程为x2+y2=c2.由椭圆的形状,根据离心率e的范围加以讨论,即可得到椭圆C与它的“知己圆”的位置关系的三种不同情况,得到本题答案. 【解析】 (Ⅰ)∵椭圆C过点(0,1),∴,可得b=1, 又∵椭圆C的离心率e=,即=,且a2-c2=b2=1 …(2分) 解之得a2=3,c2=2 ∴所求椭圆C的方程为: …(4分) 由此可得“知己圆”的半径r== ∴椭圆C的“知己圆”的方程为:x2+y2=2 …(6分) (Ⅱ)设过点(0,m)、且斜率为1的直线方程为y=x+m,即为x-y+m=0 ∵直线截其“知己圆”的弦长l=2, ∴圆心到直线的距离为d===1 …(8分) 由点到直线的距离公式,得d==1,解之得m= …(10分) (Ⅲ)∵椭圆C的“知己圆”是以原点为圆心,r=的圆 ∴椭圆C的“知己圆”方程为x2+y2=c2 因此,①当c<b时,即椭圆C的离心率e∈(0,)时,椭圆C的“知己圆”与椭圆C没有公共点,由此可得“知己圆”在椭圆C内;…(12分) 当c=b时,即椭圆的离心率e=时,椭圆C的“知己圆”与椭圆C有两个 公共点,由此可得“知己圆”与椭圆C相切于点(0,1)和(0,-1); 当c>b时,即椭圆C的离心率e∈(0,)时,椭圆C的“知己圆”与椭圆C有四个公共点,由此可得“知己圆”与椭圆C是相交的位置关系. …(14分)
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考点分析:
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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