Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）证明：BC⊥AE 
（2）求AE与D₁F所成的角； 
（3）设AA₁=1，求点F到平面DBB₁D₁ 的距离．

Answer

（1）由正方体的性质，得BC⊥平面AA1B1B，结合AE⊂平面AA1B1B，得到BC⊥AE；
（2）取AB的中点P，并连结A1P，EP，可证出四边形A1D1FP是平行四边形，可得A1P∥D1F．在正方形AA1B1B中，利用三角形全等证出A1P⊥AE，从而得到AE⊥D1F，即AE与D1F所成的角为90°；
（3）过F作FG⊥BD于G，根据线面垂直的判定与性质，证出FG⊥平面DBB1D1，可得F到平面DBB1D1的距离等于FG，在正方形ABCD中易得FG=AC，结合题中数据即可得到点F到平面DBB1D1 的距离．
【解析】
（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1，∴BC⊥平面AA1B1B，
∵AE⊂平面AA1B1B，∴BC⊥AE 
（2）取AB的中点P，并连结A1P，EP
正方形AA1B1B中，可得△A1AP≌△ABE，
∴A1P⊥AE，
∵ADA1D1PF，
∴四边形A1D1FP是平行四边形，可得A1P∥D1F
即AE⊥D1F，所以AE与D1F所成的角为90°
（3）过F作FG⊥BD于G，
∵BB1⊥平面ABCD，FG⊂平面ABCD，
∴BB1⊥FG
∵FG⊥BD，BD∩BB1=B，
∴FG⊥平面DBB1D1，可得F到平面DBB1D1的距离是FG的长度，
∵正方形ABCD中，FG的长度等于CA长度的
∴F到平面DBB1D1 的距离等于AC=