Question

设a_n=n+，求证：数列{a_n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

Answer

假设数列{an}中存在三项ap，aq，ar（p，q，r互不相等）成等比数列，则根据等比中项的性质可知aq2=apar．把ap，aq，ar代入求得（q2-pr）+（2q-p-r）=0进而推断出，求得p=r，与p≠r矛盾．进而可知假设不成立．
证明：假设数列{an}中存在三项ap，aq，ar（p，q，r互不相等）成等比数列，则aq2=apar．
即（q+）2=（p+）（r+）．
∴（q2-pr）+（2q-p-r）=0
∵p，q，r∈N*，
∴，
∴（）2=pr，（p-r）2=0，
∴p=r．
与p≠r矛盾．
所以数列{an}中任意不同的三项都不可能成等比数列．