若对∀x1∈[-3,3],∃x2∈[-3,3],恒有f(x1)>g(x2)成立,只需在∈[-3,3]上f(x)min>g(x)min即可.分别利用二次函数的图象与性质与导数求出两个最小值,列不等式求解即可.
【解析】
若对∀x1∈[-3,3],∃x2∈[-3,3],恒有f(x1)>g(x2)成立,只需在∈[-3,3]上f(x)min>g(x)min即可.
f(x)=8x2+16x-m=8(x+1)2-m-8,f(x)min=f(-1)=-m-8
g(x)=2x3+5x2+4x,g′(x)=6x2+10x+4=(x+1)(6x+4),
在x∈(-3,-1)∪(,3],g′(x)>0,(-3,-1)与(,3]是g(x)单调递增区间.在x∈(-1,),g′(x)<0,(-1,,]是g(x)单调递减区间.
g(x)的极小值为g()=
,又g(-3)=-21,所以g(x)min=-21
所以-m-8>-21,解得m的范围为m<13.