(1)根据向量数量积运算公式和模的,算出=2,=1且=0,由此化简•=0的式子得4k+t(t2-3)=0,可得k=f(t)=(t3-3t),即为所求函数关系式;
(2)由(1),化简得不等式f(t)>mt2-t恒成立,即m<(t+)在(0,+∞)上恒成立.结合基本不等式加以计算,可得m<恒成立,即得实数m的取值范围.
【解析】
(1)∵=(,-1),=(,),
∴=,=1,=0
∵=+(t2-3),=-k+t,且⊥.
∴•=-k+t(t2-3)=0,即4k+t(t2-3)=0,
∴t3-3t-4k=0,
可得k=f(t)=(t3-3t),即为所求函数关系式;
(2)不等式f(t)>mt2-t恒成立,
即(t3-3t)>mt2-t在(0,+∞)上恒成立
化简整理,得m<(t+)在(0,+∞)上恒成立
∵t+,当且仅当t=1时,t+达到最小值2
∴m<×2=,
即满足对任意的t>0,不等式f(t)>mt2-t恒成立的m的取值范围为(-)